已知f(x)=(10^x-(1/10)^x)/(10^x+(1/10)^x)
1)证明f(x)是定义域内的增函数
2)求f(x)的值域

已知f(x)=(10^x-(1/10)^x)/(10^x+(1/10)^x)
1)证明f(x)是定义域内的增函数
f(x)=(10^x-(1/10)^x)/(10^x+(1/10)^x)
=(10^x-10^-x)/(10^x+10^-x)
因为，10^x>0，10^-x>0
所以，函数的定义域为R
令10^x=t，则：t>0，且10^-x=1/t，则：
原式=[t-(1/t)]/[t+(1/t)]
令其等于g(t)
则：g(t)=(t^2-1)/(t^2+1)
假设：0<t1<t2
那么，g(t1)-g(t2)=[(t1^2-1)/(t1^2+1)]-[(t2^1-1)/(t2^2+1)]
=[(t1^2-1)(t2^2+1)-(t2^2-1)(t1^2+1)]/[(t1^2+1)(t2^2+1)]
=2(t1^2-t2^2)/[(t1^2+1)(t2^2+1)]
=2(t1+t2)(t1-t2)/[(t1^2+1)(t2^2+1)]
上式中，t1+t2>0，t1-t2<0，(t1^2+1)(t2^2+1)>0
所以：g(t1)-g(t2)<0
即：g(t1)<g(t2)
所以，g(t)为增函数，亦即f(x)是定义域内的增函数

2)求f(x)的值域
f(x)的值域就是g(t)=(t^2-1)/(t^2+1)的值域，其中t>0
那么，g(t)=(t^2-1)/(t^2+1)=[(t^2+1)-2]/(t^2+1)
=1-2/(t^2+1)
因为，t>0
所以：t^2+1>1 ===> 0<1/(t^2+1)<1 ===> 0<2/(t^2+1)<2
===> -2<-2/(t^2+1)<0
===> -1<1-2/(t^2+1)<1
即：-1<g(t)<1
所以，f(x)的值域为：(-1,1)