问题: 一道高考题
一道高考题
对于一切大于1的自然数n,求证:
(1+1/3)*(1+1/5)*(1+1/7+*…*[1+1/(2n-1)]>[√(2n+1)]/2
解答:
对于一切大于1的自然数n,求证:
(1+1/3)*(1+1/5)*(1+1/7)+*…*[1+1/(2n-1)]>[√(2n+1)]/2
证明 设an=(1+1/3)*(1+1/5)*(1+1/7+*…*[1+1/(2n-1)],
bn=(1+1/4)*(1+1/6)*(1+1/8)+*…*[1+1/(2n)].
显然an>bn.
an=(4/3)*(6/5)*(8/7)*...*[2n/(2n-1)];
bn=(5/4)*(7/6)*(9/8)*...*[(2n+1)/(2n)].
而(an)^2>an*bn=(2n+1)/3>(2n+1)/4.
故an(1+1/3)*(1+1/5)*(1+1/7)*…*[1+1/(2n-1)]>[√(2n+1)]/2.
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