问题: 三角不等式问题
3(cosA)^2+3(cosB)^2+3(cosC)^2+cosB*cosC+cosC*cosA+cosA*cosB≥3
解答:
在△ABC中，求证
3(cosA)^2+3(cosB)^2+3(cosC)^2+cosB*cosC+cosC*cosA+cosA*cosB≥3
解 设s,R,r分别表示△ABC的半周长，外接圆和内切圆半径。
根据三角形恒等式
cosB*cosC+cosC*cosA+cosA*cosB=(s^2-4R^2+r^2)/(4R^2);
(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=(6R^2+4Rr+r^2-s^2)/(R^2).
将恒等式代入所证不等式得:
6(6R^2+4Rr+r^2-s^2)+(s^2-4R^2+r^2)≥12R^2
<==> 20R^2+24Rr+7r^2≥5s^2
根据Gerretsen不等式:4R^2+4Rr+3r^2≥s^2,和欧拉不等式R≥2r.
5(4R^2+4Rr+3r^2-s^2)+4r(R-2r)≥0.
所以上式成立。证毕.
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