问题: 高中三角不等式问题
在△ABC中，求证
9(cosA)^2+3(cosB)^2+3(cosC)^2+7cosB*cosC+7cosC*cosA+7cosA*cosB≤12
解答:
在△ABC中，求证
7(cosA)^2+7(cosB)^2+7(cosC)^2+9cosB*cosC+9cosC*cosA+9cosA*cosB≤12
证明 设s,R,r分别表示△ABC的半周长，外接圆和内切圆半径。
根据三角形恒等式
cosB*cosC+cosC*cosA+cosA*cosB=(s^2-4R^2+r^2)/(4R^2);
(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=(6R^2+4Rr+r^2-s^2)/(2R^2).
将上述两个恒等式代入所证不等式得
14(6R^2+4Rr+r^2-s^2)+9(s^2-4R^2+r^2)≤48R^2，
<==> 5s^2-56Rr+23r^2≥0
<==> 5(s^2-16Rr+5r^2)+24r(R-2r)≥0
根据Gerretsen不等式:s^2≥16Rr-5r,和欧拉不等式R≥2r.
上式显然成立。证毕.
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