在锐角△ABC中，求证
cos(B-C)/cosA+cos(C-A)/cosB+cos(A-B)/cosC≥6

在锐角三角形ABC中，求证：
cos(B-C)/cosA+cos(C-A)/cosB+cos(A-B)/cosC≥6 (1)

证明(一) 因为cos(B-C)=2sinB*sinC-cosA，故(1)式等价于
2sinB*sinC/cosA+2sinC*sinA/cosB+2sinA*sinB/cosC≥9 (2)
设a,b,c为锐角ΔABC三边长，S表示锐角ΔABC的面积。
则海仑公式得:
16S^2=2(b^2*c^2+c^2*a^2+a^2*b^2)-(a^4+b^4+c^4)
=a^2*(b^2+c^2-a^2)+b^2*(c^2+a^2-b^2)+c^2*(a^2+b^2-c^2).
由面积公式和余弦定理得:
sinB*sinC=[2S/(ca)]*[2S/(ab)]=4S^2/(a^2*bc)
cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
所以(2)式等价于
16S^2*Σ1/[a^2*(b^2+c^2-a^2)]≥9 (3)
因为 b^2+c^2-a^2>0，c^2+a^2-b^2>0，a^2+b^2-c^2>0，
(3)式即为柯西不等式。证毕.

上述不等式有许多证法。
作边置换:a^2→a，b^2→b，c^2→c，将锐角三角形不等式转化成任意三角形不等式。