求证 对任意长方体A，总存在一个与A等高的长方体B, 使得B与A的侧面积之比与体积之比都等于常数k, 其中k≥1。

求证 对任意长方体A，总存在一个与A等高的长方体B, 使得B与A的侧面积之比与体积之比都等于常数k, 其中k≥1。

证明 设长方体A的底面长，宽分别为p,q; 长方体B的底面长，宽分别为m,n. 高都为h.
依题意可得:
2(m+n)h=2(p+q)h*k， (1)
mnh=pqh*k (2)
==>
m+n=k(p+q) ，
m*n=kpq
上式m,n是方程:
x^2-k(p+q)x+kpq=0 (3)
的两个根。
△=[k(p+q)]^2-4kpq=k*2*(p-q)^2+4k(k-1)pq
因为 k≥1，p>0,q>0，所以△>0。
又k(p+q)>0，kpq>0，所以方程(3)有两个正实根。
因此满足条件(1),(2) 的m,n是存在的。命题得证。