三角形ABC的面积为1,第一次操作:分别延长AB、BC、CA 至点 A1、B1、C1 ,使 A1B=AB , B1C=BC , C1A=CA,顺次连接A1B1C1,得到三角形A1B1C1。第二次操作:分别延长A1B1、 B1C1、 C1A1至点A2、B2、C2 ,使 A2B1=A1B1,B2C1=B2C1 , C2A1=C1A1 ,顺次连接A2、B2、C2 ,得到三角形 A2B2C2。(1)试分别求出三角形A1B1C1与三角形A2B2C2的面积;(2)按此规律,最少经过多少次操作,可以使得三角形的面积超过2007?
如图
依次连接AB1、BC1、CA1
根据三角形的面积公式S=(1/2)*a*h知,当两个三角形的高相等、底边也相等时,它们的面积也相等。
例如:△ABC和△AB1C
底边BC=B1C
高都是点A到直线BB1的距离
所以,S△AB1C=S△ABC=1
又如,△ABC和△ABC1
底边AC=AC1
高都是点B到直线CC1的距离
所以,S△ABC1=S△ABC=1
其他同理,所以:
S△ABC1=S△A1BC1=S△A1BC=S△A1B1C=S△AB1C=S△AB1C1=S△ABC1
所以,S△A1B1C1=7*S△ABC=7
同理,S△A2B2C2=7*S△A1B1C1=7*7=49
由上面的规律,每延长边长一次后,面积就变为原来三角形面积的7倍。
即,S1=7=7^1
S2=49=7^2
……
所以:设经过n次之后,使得三角形的面积超过2007
那么:
Sn=7^n>2007
当n=4时,7^4=2401>2007
所以,n=4
即:经过4次操作,可以使得三角形的面积超过2007
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