问题: 三角不等式
在ΔABC和ΔA'B'C'中，求证
cotA+cotB+cotC≥cosA'/sinA+cosB'/sinB+cosC'/sinC
解答:
在ΔABC和ΔA'B'C'中，求证
cotA+cotB+cotC≥cosA'/sinA+cosB'/sinB+cosC'/sinC
证明 根据已知不等式[嵌入不等式]，设A'+B'+C'=π，x,y,z为任意实数，则有
x^2+y^2+z^2≥2yz*cosA'+2zx*cosB'+2xy*cosC' (1)
记ΔABC的边长BC=a,CA=b,AB=c，令x=a,y=b,z=c，则(1)置换后等价于
a^2+b^2+c^2≥2bc*cosA'+2ca*cosB'+2ab*cosC' (2)
而据恒等式: cotA+cotB+cotC=(a^2+b^2+c^2)/(4S)[S为ΔABC面积]
及三角形面积公式:4S=2bc*sinA=2ca*sinB=2ab*sinC，即得
cotA+cotB+cotC≥cosA'/sinA+cosB'/sinB+cosC'/sinC 。
命题得证。
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