在ΔABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c，如果2b<c+a，求证:2B<C+A.

在ΔABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a,b,c，如果2b<c+a，
求证:2∠B<∠C+∠A

下面给出一个几何证法.
证明（1） 在ΔABC中，延长BA到D，使得AD=BC=a，延长BC到E，使得CE=AB=c。则BD=BE=a+c，所以在ΔDBE中，∠BDE=∠BED。
过D,C分别作DF∥AC，CF∥BA交于F，连EF。则四边形ADFC是平行四边形，于是得:DF=CA=b，CF=AD=a，∠FCE=∠ABC。
由CE=BA可得:ΔCEF≌ ΔABC，即得:EF=CA=b。
在ΔDEF中，DE≤DF+EF [等号仅当DE∥AC时成立]，所以
DE<DF+EF=2b<a+c=BD=BE。
因此，在等腰ΔBEF中，∠B<∠BED，∠B<∠BDE。
于是 2∠B<∠BED+∠BDE=180°-∠B，即 3∠B<180°。
故∠B<60°,因而 2∠B<∠C+∠A 成立。证毕。

证明(2) 由余弦定理得:cosB=(c^2+a^2-b^2)/(2ca)
==> cosB>[4c^2+4a^2-(c+a)^2]/(8ca)=(3c^2+3a^2-2ca)/(8ca)≥(6ca-2ca)/(8ca)=1/2
所以cosB>1/2, 即B<60°，
而A+B+C=180°，==>A+C>120°,
因此2B<C+A。