设P为正三角形ABC平面上任一点，PA=a,PB=b,PC=c，求正三角形ABC的边长。

如图
以PB为边向△ABC外作正三角形DBP，连接AD
设正△ABC的边长为m
因为∠ABC=∠ABP+∠PBC=60°
∠DBP=∠DBA+∠ABP=60°
所以，∠DBA=∠PBC
又因为DB=PB=b，AB=CB=m
所以，△DBA≌△PBC
所以，AD=PC=c
那么，在△ADP中，令∠ADP=θ，那么：
cosθ=(b^+c^-a^)/(2bc)
所以，sinθ=√[2(a^b^+b^c^+c^a^)-(a^4+b^4+c^4)]/(2bc)
那么，在△ADB中，根据余弦定理有：
AB^=AD^+BD^-2AD*BD*cos∠ADB
即：
m^=b^+c^-2bccos(θ+60°)
=b^+c^-2bc[cosθcos60°-sinθsin60°]
=(b^+c^)-bccosθ+√3bcsinθ
=(b^+c^)-[(b^+c^-a^)/2]+√3bc*√[2(a^b^+b^c^+c^a^)-(a^4+b^4+c^4)]/(2bc)
=(a^+b^+c^)/2+(√3/2)*√[2(a^b^+b^c^+c^a^)-(a^4+b^4+c^4)]
所以，
m={(a^+b^+c^)/2+(√3/2)*√[2(a^b^+b^c^+c^a^)-(a^4+b^4+c^4)]}^(1/2)