问题: 高一数学题
已知a≥1/2 , f(x)=-a^2x^2+ax+c .x∈[0,1]
(1)若f(x)≤1 , 证明 c≤3/4
(2)若c≤3/4 , 证明 f(x)≤1
解答:
(1) f(x)≤1<===>c≤a²[x-1/(2a)]²+(3/4)对x∈[0,1]恒成立.
∵ a≥1/2, ∴ 0<1/(2a)≤1, 对称轴x=1/(2a)∈[0,1],
∴ 函数t=g(x)=a²[x-1/(2a)]²+(3/4)有最小值=g(1/(2a))=3/4,
∴ c≤3/4
(2) ∵ c≤3/4, ∴ f(x)=-a²x²+ax+c≤-a²x²+ax+(3/4)=-a²[x+1/(2a)]²+1≤1, 即f(x)≤1 .
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