问题: 在△ABC内，有一点P，使 丨向量PA丨^2+丨向量PB丨^2+丨向量PC丨^2最小 则P点是△AB
要过程~！ 越简单越好~！
解答:
几何方法较繁，重新用解析法（即代数法）来做，好像略微简单一点．
设：A=(Xa,Ya)，B=(Xb,Yb)，C=(Xc,Yc)，P=(x,y)，
因为：丨向量PA丨^2=(PA)^2=(x-Xa)^2+(y-Ya)^2，．．．
所以：目标函数为
u=[(x-Xa)^2+(y-Ya)^2]+[(x-Xb)^2+(y-Yb)^2]
+[(x-Xc)^2+(y-Yc)^2]
=3x^2-2(Xa+Xb+Xc)x+3y^2-2(Ya+Yb+Yc)
+Xa^2+Xb^2+Xc^2+Ya^2+Yb^2+Yc^2
配方得
u=3[x-(Xa+Xb+Xc)/3]^2+3[y-(Ya+Yb+Yc)/3]^2
+[Xa^2+Xb^2+Xc^2+Ya^2+Yb^2+Yc^2]
-[(Xa+Xb+Xc)^2+(Ya+Yb+Yc)^2]/3．
所以，当且仅当 x=(Xa+Xb+Xc)/3，y=(Ya+Yb+Yc)/3 时，
u有最小值
[Xa^2+Xb^2+Xc^2+Ya^2+Yb^2+Yc^2]
-[(Xa+Xb+Xc)^2+(Ya+Yb+Yc)^2]/3．
P=((Xa+Xb+Xc)/3，(Ya+Yb+Yc)/3)
说明了P点就是△ABC的重心．
版权及免责声明
1、欢迎转载本网原创文章，转载敬请注明出处：侨谊留学（www.goesnet.org）；
2、本网转载媒体稿件旨在传播更多有益信息，并不代表同意该观点，本网不承担稿件侵权行为的连带责任；
3、在本网博客/论坛发表言论者，文责自负。
