设a>0,f(x)=e^x/a+a/e^x是R上的偶函数，（1）求a的值（2）求证：f(x)在（0，+∞）上为增函数。
已知f(x)是定义域在[-1，1]的奇函数，且f(1)=1,若a,b∈[-1,1],a+b≠0时有(f(a)+f(b))/(a+b)>0。（1）判断函数f(x)在[-1，1]上的单调性（2）解不等式f(x+1/2)<f(1/(x-1))(3)若f(x)≤m^2-2am+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立，求m范围。

1.
设a>0,f(x)=e^x/a+a/e^x是R上的偶函数，
（1）求a的值
因为f(x)为偶函数，所以：f(-x)=f(x)
而f(-x)=e^-x/a+a/e^-x=a*e^x+(1/a)e^-x
所以：a*e^x+(1/a)e^-x=(e^x)/a+a*e^-x
===> [a-(1/a)]e^x-[a-(1/a)]e^-x=0
===> [a-(1/a)]*(e^x-e^-x)=0
上式与x的取值无关，所以：
a-(1/a)=0，且a>0
===> a=1

（2）求证：f(x)在（0，+∞）上为增函数。
由(1)知：f(x)=e^x+e^-x
令x1>x2>0
那么，f(x1)-f(x2)=[e^x1+e^-x1]-[e^x2+e^-x2]
=[e^x1-e^x2]+[e^-x1-e^-x2]
=(e^x1-e^x2)-(e^x1-e^x2)/e^(x1+x2)
=(e^x1-e^x2)*[1-1/e^(x1+x2)]
因为y=e^x为增函数，且在x>0时，y>1
所以，e^x1>e^x2，1/e^(x1+x2)<1
所以，上式中：(e^x1-e^x2)>0、[1-1/e^(x1+x2)]>0
所以，f(x1)>f(x2)
所以，f(x)为增函数。

2.
已知f(x)是定义域在[-1，1]的奇函数，且f(1)=1,若a,b∈[-1,1],a+b≠0时有(f(a)+f(b))/(a+b)>0。
（1）判断函数f(x)在[-1，1]上的单调性
假设在[-1，1]上，有x1>x2。那么：
[f(x1)+f(-x2)]/(x1-x2)>0
因为f(x)为奇函数，所以：
===> [f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)>0
===> f(x1)-f(x2)>0
===> f(x1)>f(x2)
所以，f(x)为单调增函数

（2）解不等式f(x+1/2)<f(1/(x-1))
首先，确定函数的定义域是在[-1，1]上，所以：
-1≤x+1/2≤1 ===> -3/2≤x≤1/2……………………………（1）
-1≤1/(x-1)≤1 ===> x≤0或者x≥1…………………………（2）
联立(1)(2)得到：-3/2≤x≤0…………………………………（3）
又由（1）知，函数f(x)为单调增函数，所以：
x+1/2<1/(x-1)
===> (x+1/2)-1/(x-1)<0
===> [x^-(1/2)x-(3/2)]/(x-1)<0
===> (x-3/2)*(x+1)*(x-1)<0
===> x<-1或者1<x<3/2…………………………………………（4）
联立(3)(4)得到：
-3/2≤x<-1

（3）若f(x)≤m^2-2am+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立，求m范围。
因为f(x)在[-1,1]上是奇函数。且，已知f(1)=1.所以：
f(-1)=-f(1)=-1
且f(x)为单调增函数。所以，f(x)∈[-1,1]
即，f(x)在[-1,1]上的最大值为1
现，f(x)≤m^2-2am+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立，也就是说，函数g(m)=m^2-2am+1在a∈[-1,1]时的最小值为1
所以，在a∈[-1,1]时，m^2-2am≥0
===> m(m-2a)≥0
若a∈[0,1]，则：
===> m≥2a或者m≤0…………………………………………（1）
若a∈[-1,0]，则：
===> m≥0或者m≤2a…………………………………………（2）
联立(1)(2)，且a∈[-1,1]有：
m≥2或者m≤-2