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问题: 三角形恒等式

三角形恒等式(征求证法)
设x,y,z是△ABC的外心O到三边距离,R,r分别为△ABC的外接圆与内切圆半径.
求证:x+y+z=R+r

解答:

三角形恒等式(征求证法)
设x,y,z是△ABC的外心O到三边距离,R,r分别为△ABC的外接圆与内切圆半径.
求证:x+y+z=R+r

因为x,y,z有正负的,即x,y,z线段是有向线段。
证明 连AO,BO,CO,无论是锐角三角形或钝角三角形[即外心在形外还是形内],总有
x=R*cosA,y=R*cosB,z=R*cosC.
再由熟知的三角恒等式
cosA+cosB+cosC=(R+r)/R.
即得:x+y+z=R+r.

下面运用托勒密定理来证.
设外心O在形内,连AO,BO,CO。O至边BC,CA,AB的垂足分别为D,E,F.则D,E,F分别是BC,CA,AB的中点,BC=a,CA=b,AB=c。则
Ef=a/2,FD=b/2,DE=c/2。
因为A,E,O,F四点共圆,由托勒密定理得:
AO*EF=OE*AF+OF*AE ,<==> a*R/2=y*c/2+z*b/2,即
aR=yc+zb (1)
同理得:
bR=za+xb (2)
cR=xc+ya (3)
根椐面积公式得:
2S=ar+br+cr=(a+b+c)r (4)
2S=xa+yb+zc (5)
备注:(5)式的面积有正负号的.
由(4),(5)式得:
(a+b+c)r=xa+yb+zc (6)
(1)+(2)+(3)+(6)得:
(a+b+c)*(R+r)=(a+b+c)*(x+y+z)
因为a+b+c>0,所以x+y+z=R+r.