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问题: 高中数学(函数的周期性,对称性)

1.设函数f(x)在(0,2)上是增函数,函数f(x+2)是偶函数,则f(1),f(5/2),f(7/2)的大小关系是
2.已知f(x)是周期为2的周期函数,则f(2x+1)的周期是
3.定义域在R上的f(x)满足:若f(x)是奇函数,f(x+1)=-f(x),当0≤x≤1/2时,f(x)=x,则f(1.3)=
都需要过程!

解答:

1.解:法一:图象法
∵函数f(x+2)是偶函数∴f(-x+2)=f(x+2)可知函数f(x)图象关于直线x=2对称,所以f(x)在(2,4)上是减函数,画出近似的图象可得f(7/2)<f(1)<f(5/2).
法二:代数法
∵函数f(x+2)是偶函数∴f(-x+2)=f(x+2)∴f(7/2)=f(3/2+2)=f(-3/2+2)=f(1/2),类似地f(5/2)=f(3/2).根据函数f(x)在(0,2)上是增函数得(7/2)<f(1)<f(5/2).

2.解:∵f(x)是周期为2的周期函数,∴则f(x)=f(x+2)
∴f(2x+1)=f(2x+1+2)=f[2(x+1)+1]即f(2x+1)的周期是1.

3.解:f(x)是奇函数得f(-x)=-f(x),∵f(x+1)=-f(x),∴f(x+1)=f(-x)
由f(x+1)=-f(x)得f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(x+1)=f(x),
则f(1.3)= f(-0.7+2)=f(-0.7)=-f(0.7)=-f[(-0.3)+1]=-f(0.3)=-0.3

[注意:第一个等号是恒等变形,第二个等号是根据f(x+2)=f(x)即周期是2,第三个等号是根据f(-x)=-f(x)即奇函数,第四个等号是恒等变形,第五个等号是根据f(x+1)=f(-x)即对称性,第六个等号是根据当0≤x≤1/2时,f(x)=x]

另外还可以有如下做法:
f(1.3)= f(-0.7+2)=f(-0.7)=-f(0.7)=-f[(-0.3)+1]=f(-0.3)=-f(0.3)=-0.3
第五个等号是根据f(x+1)=-f(x),第六个等号是根据f(-x)=-f(x).