已知f(x)=[(x-1)/(x+1)]^2，x>1
1.求f-1(x)
2.判断函数f-1(x)单调性，并证明
3.设g(x)=[1/f-1(x)]+(√x)+2，求g(x)的最小值及x的值

已知f(x)=[(x-1)/(x+1)]^2，x>1
1.求f-1(x)
令：f(x)=[(x-1)/(x+1)]^2=y
因为x>1，所以：(x-1)/(x+1)>0，y>0
且，(x-1)/(x+1)=[(x+1)-2]/(x+1)=1-[2/(x+1)]<1
所以：0<y<1
则：(x-1)/(x+1)=√y
===> x-1=x√y+√y
===> (1-√y)x=1+√y
===> x=(1+√y)/(1-√y)
所以：f-1(x)=(1+√x)/(1-√x)，0<x<1

2.判断函数f-1(x)单调性，并证明
f-1(x)=(1+√x)/(1-√x)=[(1-√x)+2√x]/(1-√x)
=1+(2√x)/(1-√x)
=1+2/[(1/√x)-1]
因为x>1，且函数√x为增函数，所以：
当x>1时，x ↑、√x ↑、1/√x ↓、(1/√x)-1 ↓、2/[(1/√x)-1] ↑
所以，函数为增函数
证明：设1>x1>x2>0，那么：
f-1(x1)-f-1(x2)
=(1+√x1)/(1-√x1)-(1+√x2)/(1-√x2)
=[(1+√x1)(1-√x2)-(1+√x2)(1-√x1)]/[(1-√x1)(1-√x2)]
=2(x1-x2)/[(1-√x1)(1-√x2)]
上式中，x1-x2>0、1-√x1>0、1-√x2>0
所以：f-1(x1)>f-1(x2)
所以。函数y=f-1(x)为增函数

3.设g(x)=[1/f-1(x)]+(√x)+2，求g(x)的最小值及x的值
考虑到g(x)表达式中含有f-1(x)，所以，g(x)的定义域为0<x<1
将f-1(x)代入，就有：
g(x)=[1/f-1(x)]+(√x)+2
=(1-√x)/(1+√x)+（√x)+2
=[(1-√x)+(√x)+x+2+2√x]/(1+√x)
=[(x+2√x+1)+2]/(1+√x)
=[(1+√x)^2+2]/(1+√x)
=(1+√x)+2/(1+√x)
≥2*√[(1+√x)*2/(1+√x)]
=2√2
当且仅当(1+√x)=2/(1+√x)时取等号，此时：
(1+√x)^2=2
===> 1+√x=√2
===> √x=√2-1
===> x=3-2√2