OA,OB是抛物线y^2=2px的两条相互垂直的弦,O为原点,求弦AB的中点M的轨迹方程
如图
因为A、B在抛物线y^2=2px上，所以：
设A(a^2/2p,a)、B(b^2/2p,b)
那么，AB中点C的坐标为((a^2+b^2)/4p,(a+b)/2)
直线OA的斜率Koa=(a-0)/[(a^2/2p)-0]=2p/a
直线OB的斜率Kob=(b-0)/[(b^2/2p)-0]=2p/b
因为OA、OB互相垂直，所以：Koa*Kob=-1
所以：
(2p/a)*(2p/b)=-1
即：ab=-4p^2………………………………………………（1）
设AB中点C坐标为(x,y)，那么：
(a^2+b^2)/4p=x，即：a^2+b^2=4px………………………（2）
(a+b)/2=y，即：a+b=2y……………………………………（3）
而，(a+b)^2=a^2+b^2+2ab
将(1)(2)(3)代入上式，有：
(2y)^2=4px-8p^2
===> y^2=px-2p^2
这就是AB中点C的轨迹方程。
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