设函数f(x)=x^2+bln(x+1),其中b≠0
1)当b>=(1/2)时，判断函数f(x)在定义域上的单调性
2）求函数f(x)的极值点
3）证明对任意的正整数n，
不等式ln(1/n +1)>1/n^2-1/n^3恒成立

1)
x+1>0
f'(x)=2x+b/(x+1)=[2x(x+1)+b]/(x+1)
=[2(x+1/2)^2+b-1/2]/(x+1)
当b>=1/2,f'(x)>=0
f(x)在定义域上的单调递增

2)
由(1)知,当b>=1/2,f(x)不存在极值点
当b<1/2
令f'(x)=[2(x+1/2)^2+b-1/2]/(x+1)=0
2(x+1/2)^2+b-1/2=0
(x+1/2)^2-(1-2b)/4=0
x1=-[√(1-2b)+1]/2,x2=[√(1-2b)-1]/2

当x<x1,f'(x)>0,
当x=x1,f'(x)=0,
当x1<x<x2,f'(x)<0,
当x=x2,f'(x)=0,
当x>x2,f'(x)>0,

考虑定义域x>-1
令x1=-1,b=0,知当b<0,x1<-1,当b>0,x1>-1
令x2=-1,无解,

∴当0<b<1/2,(两极值点)
f(x)在x=-[√(1-2b)+1]/2取极大值,在x=[√(1-2b)-1]/2取极小值
当b<0,(一极值点)
f(x)在x=[√(1-2b)-1]/2取极小值

(3)
当n=1显然成立

令b=-1,根据(2)f(x)在x=(√3-1)/2取极小值
f(1/n)=1/n^2-ln(1/n+1)
当n=2,e<81/16=(3/2)^4,e^(1/4)<3/2,1/4<ln(3/2)
f(1/2)=1/4-ln(3/2)<0
当n=3,1/n=1/3<(√3-1)/2
∴当n>=3,1/n>0,f(1/n)<f(0)=0

∴当n>=2,f(1/n)<0<1/n^3
1/n^2-ln(1/n+1)<1/n^3
ln(1/n+1)>1/n^2-1/n^3

所以,对任意的正整数n,不等式ln(1/n +1)>1/n^2-1/n^3恒成立