题 设P是ΔABC内部一点, 且∠PBA=10°, ∠BAP=20°，∠PCB=30°, ∠CBP=40°.
求证ΔABC是等腰三角形。

题 设P是ΔABC内部一点, 且∠PBA=10°, ∠BAP=20°，∠PCB=30°, ∠CBP=40°.
求证ΔABC是等腰三角形。

证明一 以PC为轴, 作轴反射变换, 设B---->B’, 连CB’, AB’, PB’. 则ΔCBB’ 为正三角形,PB=PB’.
由∠CBP=40°, ∠CBB’=60°知∠PBB’=20°.
而PB=PB’, 所以∠BB’P=∠PBB’=20°=∠BAP. 因此P,A,B’,B四点共圆,
于是∠PB’A=∠PBA=10°, 从而∠BB’A=30°.
但由于ΔCBB’ 为正三角形, 所以B’A为BC的中垂线，
故AB=AC, 即ΔABC是等腰三角形。

证明二 以PA为轴, 作轴反射变换, 设B---->B’, 连BB’, AB’, PB’. 则ΔPBB’ 为正三角形, 所以∠PB’B=60°=2∠PCB. 又B’B=B’P，从而点B’ 为ΔPBC的外心, 所以BB’=CB’ 。
又∠BAB’=2∠BAP= 40°，∠CBA=50°. 所以AB’ ⊥BC，因此AB’ 是BC的中垂线, 于是AB=AC, 故 ΔABC是等腰三角形。

证明三 设∠BCP=x,则∠CBP=80°-x.
由塞瓦定理的等价式得:
sin20°*sin40°*sin(80°-x)=sin10°*sin30°*sinx
<==> 4cos10°*sin40°*(sin80°*cosx-sinx*cos80°=sinx
<==>tanx=(4cos10°*sin40°*sin80°)/(4cos10°*sin40°*cos80°+1)
注意下面三角恒等变换
4cos10°*sin40°*cos80°+1=2sin40°cos70°+1=2cos50°cos70°+1
=1+cos120°+cos20°=1/2+cos20°
4cos10°*sin40°*sin80°=2cos10°*(cos40°-cos120°)
=cos10°+2cos10°*cos40°=cos10°+cos30°+cos50°
=cos30°+2cos20°*cos30°=cos30°(1+2cos20°)
=√3*(1/2+cos20°)
故得：tanx=√3 即x=60°.
所以∠ACB=80°-60°+30°=50=∠BAC.
因此三角形ABC是等腰三角形.

证明四 以BC为轴，作轴反射变换, 设P---->P’,
则ΔCPP'为正三角形,PB=P'B. ∠P'BC=∠CBP=40°,
由此即知 ∠BPP'=50°=∠ABC.
由己知条件知∠BPC=110°,∠APB=150°.
据正弦定理及倍角公式得:
PP'/BC==PC/BC=sin40°/sin110°=sin40°/cos20°=2sin20°.
BP/AB=sin20°/sin150°=2sin20°.
所以PP'/BC=BP/AB.
从而得 ΔBPP'∽ΔABC,而ΔBPP'是等腰三角形.
故ΔABC是等腰三角形。

证明五 因为∠PBA=10°, ∠BAP=20°，∠PCB=30°, ∠CBP=40°
设∠PCA=x，则∠PAC=80°-x.
由塞瓦定理的等价式得:
sin(80-x)*sin10*sin30=sinx*sin40*sin20
<==> cos(10+x)=4sinx*cos10*sin40
注意恒等式:8cos10*sin20*sin40=√3.
故得:x=20°,∠ABC=∠ACB=50°.
故ΔABC是等腰三角形。