函数

1）
当x在区间(0,+∞)时，f(x)=x/(x+2)=[(x+2)-2]/(x+2)=1-[2/(x+2)]
当x ↑时，x+2 ↑，1/(x+2) ↓，-1/(x+2)↑，所以：f(x)↑
证明：
令x1>x2>0，则：
f(x1)-f(x2)=[x1/(x1+2)]-[x2/(x2+2)]=[(x1x2+2x1)-(x1x2+2x2)]/[(x1+2)(x2+2)]=[2(x1-x2)]/[(x1+2)(x2+2)]>0
所以：f(x1)>f(x2)
所以，f(x)在(0,+∞)上是增函数

2）
很明显，g(x)=f(x)-kx^2有一个零点g(0)=0
已知函数g(x)=f(x)-kx^2有4个不同的零点，所以，除去g(0)点之外，还有三个。那么，有如下可能：
（i）在x>0时有两个，x<0时有一个；
（ii）在x<0时有两个，x>0时有一个。
所以：
（i）在x>0时
g(x)=f(x)-kx^2=0
===> |x|/(x+2)-kx^2=0
===> x[1/(x+2)-kx]=0
===> [x/(x+2)](1-kx^2-2kx)=0
===> kx^2+2kx-1=0
对于二次函数m(x)=kx^2+2kx-1，对称轴为x=-(2k)/(2k)=-1，恒经过点(0,-1)
△=b^2-4ac=4k^2+4k>0
===> k>0或者k<-1
当k>0时，开口向上，对称轴为x=-1，恒经过点(0,-1)，那么：在x>0时，必有一根等于0；
当k<-1时，开口向下，对称轴为x=-1，恒经过点(0,-1)，那么：f(x)在x>0时与x轴正半轴没有交点，即无使得m(x)=0的正根。
（ii）在x<0时
g(x)=f(x)-kx^2=0
===> |x|/(x+2)-kx^2=0
===> -x[1/(x+2)+kx]=0
===> [-x/(x+2)](1+kx^2+2kx)=0
===> kx^2+2kx+1=0
对于二次函数n(x)=kx^2+2kx+1，对称轴为x=-(2k)/(2k)=-1，恒经过点(0,1)
△=b^2-4ac=4k^2-4k>0
===> k>1或者k<0
当k>1时，开口向上，对称轴为x=-1，恒经过点(0,1)，那么：在x<0时，必有两根等于0；
当k<0时，开口向下，对称轴为x=-1，恒经过点(0,1)，那么：f(x)在x<0时，必有一根等于0。
综上，当k>1时，函数g(x)=f(x)-kx^2有4个不同的零点。