己知A，B，C均为锐角，设tanA=p，tanB=q，tanC=r，当A+B+C多少时，pq+qr+rp<1。

解 记T=pq+qr+rp-1,K=cosA*cosB*cosC，则
T=tanA*tanB+tanB*tanC+tanC*tanA-1
=sinA*sinB/(cosA*cosB)+sinB*sinC/(cosA*cosC)+sinC*sinA/(cosC*cosA)-1
=[sinA*sinB*cosC+sinB*sinC*cosA+sinC*sinA*cosB-K]/K
=[sinB*sin(A+C)-cosB*cos(A+C)]/K
=-[cos(A+B+C)]/(cosA*cosB*cosC)
因为A，B，C均为锐角，所以 K>0.
欲使T<0，只需cos(A+B+C)>0,而0<A+B+C<3π/2，
故当A+B+C<π/2时，pq+qr+rp<1成立。
备注:
当A+B+C=π/2时，pq+qr+rp=1
当A+B+C>π/2时，pq+qr+rp>1。