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记上极限为:Limsup,上导数为Dsup.
由于Dsup(f)(x)=Dinf(-f)(x),
只需证明Dsup(f)(x)可测.
而可用f(x)-sx替换f(x),所以
只需证明:A={x,Dsup(f)(x)>0}可测.

1.
记B(m,n)={开区间(x,y),0<y-x<1/n且[f(y)-f(x)]/[y-x]>1/m}
==>
设C(m,n)=∪{(x,y)∈B(m,n)}(x,y)
==>
C(m,n)为开集==>
C(m,n)=∪{1≤k}(a(k),b(k)),
其中(a(k),b(k))两两不相交.
设D(m,n)=∪{(x,y)∈B(m,n)}[x,y]
==>
D(m,n)=∪{1≤k}I(k),
其中
I(k)=[a(k),b(k)]或[a(k),b(k))或(a(k),b(k)]或(a(k),b(k))
==>
D(m,n)可测.

设D=∪{1≤m}[∩{1≤n}D(m,n)
==>
D可测.


2.
证明A=D
ⅰ.
若z∈A,有1≤m,Dsup(f)(z)>2/m,
==>
任意1≤n,有0<|z-zn|<1/n
使[f(zn)-f(z)]/[zn-z]>1/m
==>
(z,zn)或(zn,z)∈B(n,m)==>
z∈∩{1≤n}D(m,n)==>
z∈D

ⅱ.
若z∈D
==>
有个m,使z∈∈∩{1≤n}D(m,n)
==>
任意1≤n,有0<vn-zn<1/n,vn≤z≤zn
使[f(vn)-f(zn)]/[vn-zn]>1/m
==>
[f(vn)-f(z)]/[vn-z]>1/m或[f(z)-f(zn)]/[z-zn]>1/m
==>
Dsup(f)(z)≥1/m>0
==>
z∈A
==>
A=D.