问题: 某二元函数的可测性判定
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解答:
只需证明A={(x,y),f(x,y)>0}在R^2可测即可.
1.
B(n,m)=∪{-∞<u<+∞}{x,f(x,u/2^n)>1/m}×[u/2^n,(u+1)/2^n]
{x,f(x,u/2^n)>1/m}×[u/2^n,(u+1)/2^n]在R^2可测.
==>
B(n,m)在R^2可测.
设B=∪{1≤m}[∪{1≤k}[∩{k≤n}B(n,m)]]
==>
B在R^2可测.
2.
证明A=B.
ⅰ.
(x,y)∈A,f(x,y)>2/m,根据对y的连续性
==>
有(x,u/2^k)使f(x,u/2^k)>1/m
==>
(x,y)∈∩{k≤n}B(n,m)==>(x,y)∈B.
ⅱ.
(x,y)∈B.
==>
有个m,k,使(x,y)∈∩{k≤n}B(n,m)
==>
有|y-u/2^n|<1/2^n,f(x,u/2^n)>1/m
根据对y的连续性
==>
f(x,y)≥1/m>0
==>
(x,y)∈A
==>
A=B
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