一个椭圆离心率为(根号5-1)/3,已知F为左侧焦点,A为右侧顶点,B为上侧顶点,求∠ABF=?

如图

设椭圆方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a、b>0）
那么，点A(a,0)；点B(0,b)；点F(-c,0)（其中c^2=a^2-b^2）
那么：
AB^2=a^2+b^2
BF^2=b^2+c^2
AF^2=(a+c)^2
所以，在△ABF中，应用余弦定理有：
cos∠ABF=(AB^2+BF^2-AF^2)/(2AB*BF)
=(a^2+b^2+b^2+c^2-a^2-c^2-2ac)/[2√(a^2+b^2)*√(b^2+c^2)]
=2(b^2-ac)/[2√(a^2+b^2)*√(b^2+c^2)]
=(b^2-ac)/[√(a^2+b^2)*√(b^2+c^2)]
因为：a^2-b^2=c^2
所以：b^2=a^2-c^2，且：b^2+c^2=a^2
所以：上式
=(a^2-c^2-ac)/[√(2a^2-c^2)*a]
又，e=c/a，所以：c=ea，代入上式，则：
=(a^2-e^2a^2-ea^2)/[a*√(2a^2-e^2a^2)]
=a^2(1-e-e^2)/[a^2*√(2-e^2)]
=(1-e-e^2)/√(2-e^2)
已知：e=(√5-1)/3，所以：e^2=(6-2√5)/9
则：上式
=[1-(√5-1)/3-(6-2√5)/9]/√[2-(6-2√5)/9]
=[(9-3√5+3-6+2√5)/9]/√[(18-6+2√5)/9]
=[(6-√5)/9]/√[(12+2√5)/9]
=(6-√5)/[3√(12+2√5)]
所以，∠ABF=arccos(6-√5)/[3√(12+2√5)]