在ΔABC中,∠ABC=40°,∠ACB=30°,∠PBC=30°,∠PCB=20°,P为ΔABC内一点,则∠PAB=？

在ΔABC中,∠ABC=40°,∠ACB=30°,∠PBC=30°,∠PCB=20°,P为ΔABC内一点,则∠PAB=？

三角解法 因为∠ABC=40°,∠ACB=30°,∠PBC=30°,∠PCB=20°,
所以∠PBA=10°,∠PCA=10°
设∠PCA=x, ∠PAB=110°-x.
据塞瓦定理定理得:
sinx*sin10*sin20=sin(110-x)*sin30*sin10
<==> 2sinx*sin20=cos(20-x)
<==> sinx*sin20=cos20*cosx
<==> cos(x+20)=0 ==> x=70°.
故∠PAB=40°.

几何证法 延长BP交AC于D，过点D作BC的垂线，交CP于E，连BE。
则得:∠DBE=∠PCA=10°，∠BDA=∠BDE=60°。
因为∠PBA=∠DBE =10°，故ΔABD≌ΔEBD ==> AD=ED.
由此得ΔAPD≌ΔEPD ==> ∠PAD=∠PED.
而∠PED=∠EDC+∠ECD=70°.
因此∠PAB=40°.