问题: 高二数学
已知直线L与椭圆C:x2/3+y2=1,交于AB两点,坐标原点O到L的距离为2分之根号3,求AOB的面积最大值?
过程
解答:
已知直线L与椭圆C:（x＾/3）+y＾=1,交于AB两点,坐标原点O到L的距离为2分之根号3,求AOB的面积最大值?
解：
L： y=kx+b
（x＾/3）+y＾=1 A（x1，y1） B（x2，y2）
（1+3k＾）x＾+6kbx+3b＾-3=0
x1+x2=-6kb/（1+3k＾）
x1x2=（3b＾-3）/（1+3k＾）
AB＾=（1+k＾）[（x1+x2）＾-4x1x2]
=（1+k＾）[（36k＾-12b＾+12）/（1+3k＾）＾]
（√3/2）＾=b＾/（1+k＾）
b＾=3（1+h＾）/4
带入上式：
AB＾=（1+k＾）（27k＾+3）/（1+3k＾）＾
=（27k＾4+30k＾+3）/（9k＾4+6k＾+1）
=[3（9k＾4+6k＾+1）+12k＾]/（9k＾4+6k＾+1）
=3+{12/[9k＾+（1/k＾）+6]}
9k＾+（1/k＾）≥2√[9k＾×（1/k＾）]=6
[9k＾+（1/k＾）+6]min=12
[AB＾]max=4
[|AB|]max=2
AOB的面积最大值[S]max=（1/2）×|AB|×（√3）/2
=（√3）/2
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