问题: 以MN为直径的圆过原点,求双曲线的方程.
双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且过点(3，2)，又过左焦点且斜率为-3/4的直线交两条准线于M、N，以MN为直径的圆过原点，求双曲线的方程。
解答:
解：
双曲线： x＾/a＾-y＾/b＾=1
9/a＾-4/b＾=1
过左焦点且斜率为-3/4的直线L： y=（-3/4）（x+c）
准线L1： x=a＾/c
准线L2： x=-a＾/c
L交L1于M： M[a＾/c，（-3/4）（a＾+c＾）/c]
L交L2于N： N[-a＾/c，（-3/4）（b＾）/c]
向量OM=[a＾/c，（-3/4）（a＾+c＾）/c]
向量ON=[-a＾/c，（-3/4）（b＾）/c]
以MN为直径的圆过原点
向量OM⊥向量ON
向量OM●向量ON=-（a＾4/c＾）+（9/16）（a＾b＾+c＾b＾）/c＾=0
-16a＾4+9（ab）＾+9（bc）＾=0
16a＾4-18（b＾）a＾-9b＾4=0
a＾=3b＾/2 a＾=-3b＾/8舍
∴a＾=3b＾/2
9/a＾-4/b＾=1
b＾=2 a＾=3
∴双曲线： （x＾/3）-（y＾/2）=1
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