已知: 3x
f(x)= _______ (x>0) 。求(1)试确定函数f(x)的单
x2+x+1
调区间,并证明你的结论. (2)若x1≥1,x2≥1,证明:∣f(x1)-f(x2)∣<1.

如果是高三题，可用求导的方法，简单。
解： 设x2＞x1 则x2-x1＞0
f（x2）-f（x1）=[3x2/（x2＾+x2+1）]-[3x1/（x1＾+x1+1）]
=3（x2-x1）（1-x1x2）/[x1＾+x1+1][x2＾+x2+1]
∵x＞0
∴[x1＾+x1+1][x2＾+x2+1]
当x2＜1，x1＜1时
x1x2＜1
f（x2）-f（x1）＞0 f（x）单调递增
当1＜x2 1＜x1时
1＜x1x2
f（x2）-f（x1）＜0 f（x）单调递减
∴f(x)的单调区间： x∈（0，1） f（x）单调递增
x∈（1，+∞） f（x）单调递减
x+（1/x）+1≥2+1=3
f（x）=3x/（x＾+x+1）=3/[x+（1/x）+1]≤1
当x=1时，f（x）有最大值1
(2)若x1≥1,x2≥1,证明:∣f(x1)-f(x2)∣<1
∵x≥1时， f（x）单调递减，f（x）最大值是1
且x＞0 f（x）=3x/（x＾+x+1）＞0
∴0＜f（x1）≤1 0＜f（x2）≤1
∴∣f(x1)-f(x2)∣<1