Q1：已知圆与x+y=3与两坐标轴都相切 求圆的方程
Q2：x^2+y^2-x-6y+F=0与直线x+2y-3=0交于两点PQ,且OP垂直于OQ 求F的值
Q3:斜率为-1时 x^2+y^2=4的切线方程

Q1：已知圆与x+y=3与两坐标轴都相切 求圆的方程
设圆的方程为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2（r>0）
已知圆与x+y=3与两坐标轴都相切，那么圆心O(a,b)到坐标轴和直线的距离都相等，均为r。
所以：|a|=|b|=r
且，|a+b-3|/√2=r
联立上述方程组，得到：
1）
若a=b=r>0
则：|2r-3|=√2r
那么，2r-3=√2r或者3-2r=√2r
所以，a=b=r=3(2±√2)/2
2)
若a=-b=r>0
则：|3|/√2=r
那么，r=(3√2)/2
所以：a=(3√2)/2,b=-(3√2)/2
3)
若-a=b=r>0
则：|3|/√2=r
那么，r=(3√2)/2
所以：a=-(3√2)/2,b=(3√2)/2
综上，这样的圆一共有4个，它们的方程如下：
O1：[x-3(2-√2)/2]^2+[y-3(2-√2)/2]^2=(27-36√2)/2（位于第一象限，小三角形内部）
O2：[x-3(2+√2)/2]^2+[y-3(2+√2)/2]^2=(27+36√2)/2（位于第一象限，直线的上侧）
O3：[x-(3√2/2)]^2+[y+(3√2/2)]^2=9/2（位于第四象限，直线下侧）
O4：[x+(3√2/2)]^2+[y-(3√2/2)]^2=9/2（位于第二象限，直线下侧）

Q2：x^2+y^2-x-6y+F=0与直线x+2y-3=0交于两点PQ,且OP垂直于OQ 求F的值
圆方程为：x^2+y^2-x-6y+F=0，化简为标准形式为：
[x-(1/2)]^2+(y-3)^2=(1/4)+9-F=(37-4F)/4
则，圆心O(1/2,3)
因为OP⊥OQ，且OP=OQ=r
所以，PQ^2=OP^2+OQ^2=2r^2=2*[(37-4F)/4]=(37-4F)/2…（1）
设P(2y1-3,y1)、Q(2y2-3,y2)
联立直线与圆方程有：
(2y-3)^2+y^2-(3-2y)-6y+F=0
===> 5y^2-16y+(6+F)=0
那么：y1+y2=16/5，y1y2=(6+F)/5
而，PQ^2=(y1-y2)^2+[(2y1-3)-(2y2-3)]^2
=(y1-y2)^2+[2(y1-y2)]^2=5(y1-y2)^2
=5[(y1+y2)^2-4y1y2]
=5[(16/5)^2-4*(6+F)/5]……………………………………（2）
联立(1)(2)得到：
F=87/20

Q3:斜率为-1时 x^2+y^2=4的切线方程
设切线方程为：y=-x+m
即：x+y-m=0
既然直线是圆的切线，那么圆心O(0,0)到切线的距离都能够与圆的半径
所以：
d=|0+0-m|/√2=r=2
所以：m=±2√2
则，切线方程为：x+y±2√2=0