直线y=kx+1,双曲线2x^2-y^2=1
1)直线与双曲线有两个不同的交点A，B，求实数k的取值范围
2）直线与双曲线的右支交于不同的两点A，B，求实数k的取值范围
3）在2）的条件下，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线的右焦点F，若存在，求出k，若不存在请说明理由

1)a^2=1/2;b^2=1--->c=√3/2.因此,右焦点是F2(√3/2,0)
把y=kx+1代入2x^2-y^2=1,得到(k^2-2)x^2+2kx+2=0(*):
x1+x2=2k/(2-k^2);x1*x2=2/(k^2-2)
y1*y2=(kx1+1)(kx2+1)=k^2*x1*x2+k(x1+x2)+1
=2k^3/(2-k^2)+2k/(k^2-2)+1
=(2k^3-k^2-2k+2)/(2-k^2)
(*)有二解,等价于直线与双曲线有二交点.为此仅需△=4k^2-8(k^2-2)=-4k^2+16>0.解得-2<k<2.就是所求.(k=0不应例外,此时直线平行于横轴与双曲线有二交点)
2)直线与双曲线的右支交于两点,就是要求(*)有二正根.为此应在(-2,2)内求得使两根之和与积都是正数的k的范围.显然,有k<0,故-2<k<0.
3)设A(x1,y1);B(x2,y2).k(AF)=y1/(x1-√3/2);k(BF)=y2/(x2-√3/2)
以AB为直径的圆经过点F,等价于AF⊥BF,为此需研究k1*k2=-1.
--->y1/(x1-√3/2)*y2/(x2-√3/2)=-1
--->y1*y2/[x1*x2-√3/2*(x1+x2)+3/4=-1
--->y1y2+x1x2-√3/2*(x1+x2)+3/4=0
--->(2k^3-k^2-2k+2)/(2-k^2)+[-2/(2-k^2)-√3/2*2k/(2-k^2)+3/4]=0
--->(2k^3-k^2-2k+2)-2-3k+3/4*(2-k^2)=0
--->2k^3-7/4*k^2-(2+√3)k+3/2=0
--->8k^3-7k^2-4(2+√3)k+6=0
根据实系数三次方程有一个或三个的原理,可以断定这样的k存在.
要写出方程必须求出k的值,从这个方程来看,应该怎样用中学数学来解?不是容易的事.还是请教出题的人吧.