问题: 一道关于双曲线的焦点与切线
左焦点F1,右焦点F2，线上一点D切线L,做F2关于L对称点F2',问F1,F2'.D,是否共线
解答:
F1,F2'.D三点共线.
证明: ∵ 双曲线x²/a²-y²/b²=1右支上的点D(x0,y0)处的切线L的方程是: x0x/a²-y0y/b²=1,它与x轴交于点E(x',0),则x0x'/a²-0=1,
∴ x'=a²/x0, ∴ E(a²/x0,0).
点D(x0,y0)处的焦半径|DF1|=ex0+a,|DF2|=ex0-ea(e是离心率)
∵ |F1E|=(a²/x0)+c=a(a+ex0)=|DF1|, |EF2|=c-(a²/x0)=a(ex0-a)=a|DF2|, ∴ |F1E|/|EF2|=DF1|/DF2|, 即DE平分∠F1DF2 ,
∴ 直线DF1与直线DF2关于直线DE对称. ∴ 直线DF2上的点F2的对称点F2'必在直线DF1上, ∴ F1,F2'.D三点共线.
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