对任意四边形，总存一个矩形,使得矩形与这四边形的周长和面积比均等于常数k(k≥1).

对任意四边形，总存一个矩形,使得矩形与这四边形的周长和面积比均等于常数k(k≥1).
解 设任意四边形ABCD，AB=a,BC=b,CD=c,DA=d，∠BAC=A,∠BCD=C,∠ABC=B,∠CDA=D.
要求的矩形长为x,宽为y.使得方程组
2(x+y)=k(a+b+c+d);
2xy=k(ad*sinA+bc*sinC)
有正解,仅需证明方程
2t^2-k(a+b+c+d)*t+k(ad*sinA+bc*sinC)=0
有正解.事实上
k≥1,1≥sinA,1≥sinC,1≥sinB,1≥sinD,
ad*sinA+bc*sinC=ab*sinB+cd*sinD
Δ=k^2*(a+b+c+d)^2-8k*(ad*sinA+bc*sinC)
≥k^2*(a+b+c+d)^2-8k^2*(ad*sinA+bc*sinC)
=k^2*(a+b+c+d)^2-4k^2*(ad*sinA+bc*sinC+ab*sinB+cd*sinD)
≥k^2*[(a+b+c+d)^2-4(ad+bc+ab+cd)]
=k^2*(a+c-b-d)^2≥0
且t1+t2=k(a+b+c+d)/2>0;(t1)*(t2)=k(ad*sinA+bc*sinC)/2>0.
所以t1>0,t2>0。证毕。