问题: 拓扑空间中某子集的导集为闭集
大家请看下图
题目就在里面
解答:
1.
设∪{γ∈Γ}Aγ的导集B,C=X-B.
任意x∈C,有开集x∈V使,
[∪{γ∈Γ}Aγ]∩V=Φ或{x}.
2.
若[∪{γ∈Γ}Aγ]∩V=Φ,则V∩B=Φ
3.
若[∪{γ∈Γ}Aγ]∩V={x},
设Γ(x)={γ∈Γ,x∈Aγ}
则设Aγ的导集Dγ,Eγ=X-Dγ.
ⅰ.
显然任意γ∈Γ,x不在Dγ中
ⅱ.
显然任意γ不在Γ(x)的元素,Dγ∩V=Φ,
ⅲ.
显然任意γ1,γ2∈Γ(x),Dγ1∩V=Dγ2∩V,
即或同时Dγ∩V=Φ,
或同时Dγ∩V≠Φ,
==>
B∩V=Dγ∩V,γ为任意1个Γ(x)的元素
==>
Eγ∩V为包含x的开集,且[Eγ∩V]∩B=Φ
由2.3得:任意x∈C,有包含x的开集为C的子集,
所以C为开集,则B闭集.
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