已知直线L:y=k(x+2√2)(k≠0)与圆O:x²+y²=4相交于点A,B两点,O为坐标原点,△AOB的面积为S.
1.试将S表示为k的函数S(k),并求出它的定义域.
2.求S的最大值,并求出k的值.

已知直线L:y=k(x+2√2)(k≠0)与圆O:x²+y²=4相交于点A,B两点,O为坐标原点,△AOB的面积为S.
1.试将S表示为k的函数S(k),并求出它的定义域.
圆O:x²+y²=4，圆心0(0,0)，半径r=2
联立直线与圆的方程，x²+y²=4；y=k(x+2√2)得到：
x^2+(kx+2√2k)^2=4
x^2+k^2x^2+4√2k^2x+8k^2-4=0
(k^2+1)x^2+(4√2k^2)x+(8k^2-4)=0
所以，x1+x2=-b/a=(-4√2k^2)/(k^2+1)
x1x2=c/a=(8k^2-4)/(k^2+1)
那么，AB之间的距离|AB|=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
=√[(x1-x2)^2+(kx1+2√2k-kx2-2√2k)^2]
=√[(x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2]
=√[(k^2+1)(x1-x2)^2]
=√{(k^2+1)[(x1+x2)^2-4x1x2]
=4√[(1-k^2)/(k^2+1)]
而，圆心O(0,0)到直线的距离d=|0-0+2√2k|/√(k^2+1)=|2√2k|/√(k^2+1)
所以，△AOB的面积S=(1/2)*AB*d
=(1/2)*4√[(1-k^2)/(k^2+1)]*|2√2k|/√(k^2+1)
=4√2|k|*√(1-k^2)/(k^2+1)
即：S(k)=4√2|k|*√(1-k^2)/(k^2+1)
那么，定义域为1-k^2>0，即：-1<k<1

2.求S的最大值,并求出k的值.
由1知道：S(k)=4√2|k|*√(1-k^2)/(k^2+1)，它为偶函数
故，考虑当0<k<1时的情形（-1<x<0时一致）
则：S(k)=4√2k*√(1-k^2)/(k^2+1)
令k=sinθ，θ∈(0,π/2)
那么，f(θ)=sinθ*cosθ/(1+sin^2θ)=sinθcosθ/[1+(1-cos2θ)/2]
=2sinθcosθ/(3-cos2θ)=sin2θ/(3-cos2θ)