过定点(-2.0)的直线l与抛物线c:y=1/4x2交于A.B两点,若以OA . OB为两边作平行四边形OAPB 求顶点P的轨迹方程

过定点(-2.0)的直线l与抛物线c:y=1/4x2交于A.B两点,若以OA . OB为两边作平行四边形OAPB 求顶点P的轨迹方程

首先，要保证过定点(-2,0)的直线l，与抛物线c有两个交点，那么l必定不垂直于x轴。所以，其斜率一定存在。
故，设过定点(-2,0)的直线为：y=k(x+2)
设交点A(x1,y1)、B(x2,y2)
因为四边形OAPB为平行四边形，那么：
Kbp=Koa=y1/x1
Kap=Kob=y2/x2
所以，BP所在直线方程为：y-y2=(y1/x1)(x-x2)
AP所在直线方程为：y-y1=(y2/x2)(x-x1)
点P即为上述两直线的交点，所以：
(y1/x1)(x-x2)+y2=(y2/x2)(x-x1)+y1
===> (y1/x1)x-(x2y1/x1)+y2=(y2/x2)x-(x1y2/x2)+y1
===> [(y2/x2)-(y1/x1)]x=(x1y2/x2)-(x2y1/x1)-(y1-y2)
===> [(x1y2-x2y1)/(x1x2)]x=(x1^2y2-x2^2y1)/(x1x2)-(y1-y2)
===> (x1y2-x2y1)x=(x1^2y2-x2^2y1)-x1x2(y1-y2)
将y1=k(x1+2)、y2=k(x2+2)代入上式，整理得到：
x=x1+x2……………………………………………………（1）
y=y1+(y2/x2)(x-x1)=y1+y2………………………………（2）
联立直线y=k(x+2)与抛物线方程有：
k(x+2)=(1/4)x^2
===> x^2=4k(x+2)
===> x^2-4kx-8k=0
===> x1+x2=4k
代入到(1)式有：
x=4k
所以：k=x/4
而，y=y1+y2=k(x1+2)+k(x2+2)=k(x1+x2)+4k
=(x/4)*x+x
===> y=(x^2/4)+x
此即为点P的轨迹方程。

其实，过A作y轴的垂线，垂足为E；过P作x轴的垂线，与过B作y轴的垂线相交于点F
很容易证明：Rt△AOE≌Rt△BPF
那么，就更容易得到：
P点的坐标满足上述关系式，即：
x=x1+x2
y=y1+y2