设P是ΔABC的内部一点,P到边BC,CA,AB的距离分别为PD,PE,PF.求证
1/PD+1/PE+1/PF≥2/PA+2/PB+2/PC

设P是ΔABC的内部一点,P到边BC,CA,AB的距离分别为PD,PE,PF.求证
1/PD+1/PE+1/PF≥2/PA+2/PB+2/PC
证 任取k>0，以P为中心作反演变换，I(P,k).
设A,B,C的反点为A',B',C'，D,E,F的反点为D',E',F'.
因为P,E,A,F四点共圆，PA是直径，
所以E',A',F'三点共圆，且PA'⊥E'F'.
同理F',B',D'三点共圆，且PB'⊥D'F';D',C',E'三点共圆，且PC'⊥D'E'.
因为PA*PA'=PB*PB'=PC*PC'=k，于是结论转化为
PD'+PE'+PF'≥2(PA'+PB'+PC')
这正是对ΔD'E'F'而言的Eedös-Mordell不等式。
因而Féjes不等式得证。
Eedös-Mordell不等式与Féjes不等式互为反演命题。