设P是ΔABC的内部一点,P到边BC,CA,AB的距离分别为PD,PE,PF.求证
PA*PD+PB*PE+PC*PF≥2(PE*PF+PF*PD+PD*PE)

设P是ΔABC的内部一点,P到边BC,CA,AB的距离分别为PD,PE,PF.求证
PA*PD+PB*PE+PC*PF≥2(PE*PF+PF*PD+PD*PE)
简证 根据面积公式得:
BC*PA≥CA*PE+AB*PF <==> PA≥(CA*PE+AB*PF)/BC
同理得:
PB≥(AB*PF+BC*PD)/CA,
PC≥(BC*PD+CA*PE)/AB.
所以得
PA*PD+PB*PE+PC*PF≥(CA/AB+AB/CA)*PE*PF+(AB/BC+BC/CA)*PF*PD+
(BC/CA+CA/BC)*PD*PE≥2(PE*PF+PF*PD+PD*PE).
证毕。