已知椭圆x²/a²+y²/b²=1与过点A(2,0),B(0,1)的直线L有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=√3/2,求椭圆的方程.(a>b>0)

已知椭圆x²/a²+y²/b²=1与过点A(2,0),B(0,1)的直线L有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=√3/2,求椭圆的方程.(a>b>0)

设过点A(2,0),B(0,1)的直线L的方程为：y=kx+b
则：
2k+b=0
0+b=1
所以，k=-1/2，b=1
则，直线L为：y=(-1/2)x+1
亦即：x+2y-2=0
因为椭圆的离心率e=c/a=√3/2
所以：c^2=(3/4)a^2
且，c^2=a^2-b^2
所以：(3/4)a^2=a^2-b^2
所以：b^2=(1/4)a^2
椭圆与直线L有且只有一个公共点，所以，联立椭圆与直线方程，得到：
x^2/a^2+y^2/b^2=1 ===>x^2/a^2+y^2/[(a^2/4)]=1
===> x^2+4y^2=a^2
且，x=2(1-y)
===> [2(1-y)]^2+4y^2=a^2
===> 4(y-1)^2+4y^2-a^2=0
===> 4y^2-8y+4+4y^2-a^2=0
===> 8y^2-8y+(4-a^2)=0
因为仅有一个交点，所以：△=b^2-4ac=0
===> 8^2-4*8*(4-a^2)=0
===> 64-32(4-a^2)=0
===> a=√2（因为a>0，所以a=-√2舍去）
则，b=√2/2
则，椭圆的方程为：
x^2/2+y^2/[(1/2)]=1