问题: 高中数学
已知对两个正数a,b有
(sinx)^4/a+(cosx)^4/b=1/(a+b).
求证 对任意自然数n有
(sinx)^2n/a^(n-1)+(cosx)^2n/b^(n-1)=1/(a+b)^(n-1)
解答:
已知对两个正数a,b有
(sinx)^4/a+(cosx)^4/b=1/(a+b).
求证 对任意自然数n有
(sinx)^2n/a^(n-1)+(cosx)^2n/b^(n-1)=1/(a+b)^(n-1)
解 由柯西不等式及柯西不等式的取等条件得：
(sinx)^4/a+(cosx)^4/b=[(sinx)^2+(cosx)^2]^2/(a+b)=1/(a+b)
所以得:(sinx)^2/a=(cosx)^2/b
据此可得:(sinx)^2/a=(cosx)^2/b=1/(a+b)
因此 (sinx)^2n/a^(n-1)+(cosx)^2n/b^(n-1)
=(sinx)^2*[(sinx)^2/a]^(n-1)+(cosx)^2*[(cosx)^2/b]^(n-1)
=1/(a+b)^(n-1).
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