不等式问题
若x1,x2,…xn∈R+，且满足
(x1)^2/[1+(x1)^2]+(x2)^2/[1+(x2)^2]+…+(xn)^2/[1+(xn)^2]=1
求证 (x1)*(x2)*…*(xn)≤1/[√(n-1)]^n （n≥2）

简证 设x1=tan(y1),x2=tan(y2),...,xn=tan(yn).
将此代入题设条件得:
[sin(y1)]^2+[sin(y2)]^2+...+[sin(yn)]^2=1
故得:
[sin(y1)]^2+[sin(y2)]^2+...+{sin[y(n-1)]}^2=[cos(yn)]^2
由均值不等式得
(n-1)*{[sin(y1)]^2*[sin(y2)]^2*...*[sin[y(n-1)]]^2}^[1/(n-1)]≤[cos(yn)]^2
同理可得另外(n-1)个式子。
由n个不等式同向相乘得:
(n-1)^n*[sin(y1)*sin(y2)*...*sin(yn)]^2)≤[cos(y1)*cos(y2)*...*cos(yn)]^2
<==> tan(y1)*tan(y2)*...*tan(yn)≤1/(n-1)^(n/2)
即 (x1)*(x2)*…*(xn)≤1/[√(n-1)]^n.证毕。