若x1,x2,…xn∈R+，且侑
(x1)^2/[1+(x1)^2]+(x2)^2/[1+(x2)^2]+…+(xn)^2/[1+(xn)^2]=1
求证 1/x1+1/x2+…*1xn)≥1/√[n(n-1)] （n≥2）

若x1,x2,…xn∈R+，且侑
(x1)^2/[1+(x1)^2]+(x2)^2/[1+(x2)^2]+…+(xn)^2/[1+(xn)^2]=1
求证 1/x1+1/x2+…*1xn)≥1/√[n(n-1)] （n≥2）
结论有误，应该为
求证 1/x1+1/x2+…*1xn)≥n√(n-1) （n≥2）

简证 设x1=tan(y1),x2=tan(y2),...,xn=tan(yn).
将此代入题设条件得:
[sin(y1)]^2+[sin(y2)]^2+...+[sin(yn)]^2=1
故得:
[sin(y1)]^2+[sin(y2)]^2+...+{sin[y(n-1)]}^2=[cos(yn)]^2
由均值不等式得
(n-1)*{[sin(y1)]^2*[sin(y2)]^2*...*[sin(y(n-1))]^2}^[1/(n-1)]≤[cos(yn)]^2
<==>√(n-1)*{sin(y1)*sin(y2)*...*sin[y(n-1)]}^[1/(n-1)]≤cos(yn)
同理可得另外(n-1)个式子。
由n个不等式同向相乘得:
[√(n-1)]^n*[sin(y1)*sin(y2)*...*sin(yn)]≤cos(y1)*cos(y2)*...*cos(yn)
<==> 1/[tan(y1)*tan(y2)*...*tan(yn)]≥[√(n-1)]^n
再由均值不等式得
1/tan(y1)+1/tan(y2)+...+1/tan(yn)≥
n*{1/[tan(y1)*tan(y2)*...*tan(yn)]}^(1/n)
≥n*√(n-1)
即 1/(x1)+1/(x2)+…1/(xn)≤n*√(n-1).证毕。