公理、公设、定理的区别

公理　　［拼音］
　　gōnglǐ
　　［英语］
　　axiom
　　［释义］
　　（一）指社会上多数人公认的正确的道理。犹言公道。
　　【例】《三国志·吴志·张温传》：“竞言艳（暨艳）及选曹郎徐彪，专用私情，憎爱不由公理。”
　　（二）在一个演绎系统中，不需要加以证明而作为出发点的的真命题。
　　【例】在欧几里得几何系统中下面所述的都是公理：① 等于同量的量彼此相等； ②等量加等量，其和相等； ③等量减等量，其差相等； ④ 彼此能重合的物体是全等的； ⑤整体大于部分。
　　公理
　　（1）经过人类长期反复的实践检验是真实的，不
　　需要由其他判断加以证明的命题和原理。如传统形
　　式逻辑三段论关于一类事物的全部是什么或不是什么，
　　那么这类事物中的部分也是什么或不是什么，也即如果
　　对一类事物的全部有所断定，那么对它的部分也就有所
　　断定，便是公理。又如日常生活中人们所使用的“有生必
　　有死”，也属于这种不证自明的判断。
　　（2）某个演绎系统的
　　初始命题。这样的命题在该系统内是不需要其他命题加
　　以证明的，并且它们是推出该系统内其他命题的基本命
　　题。


公设　　所谓公理或公设，指的是某门学科中不需要证明而必须加以承认的某些陈述或命题，即“不证自明”的命题。一门学科如果被表示成公理的形式，那么它的所有命题就可以由这些公理或公设逻辑地推证出来。如果我们把一门学科比作一幢大楼，那么该学科的公理或公设就像大楼的地基，整幢大楼必须以它为基础而建立起来。
　　著名的欧几里德的《几何原本》中的5个公设：
　　1. 由任意一点到任意一点可作直线。
　　2. 一条有限直线可以继续延长。
　　3. 以任意点为心及任意的距离可以画圆。
　　4. 凡直角都相等。
　　5. 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小於二直角，则这二直线经无限延後在这侧相交。


定理：已经证明具有正确性、可以作为原则或规律的命题或公式，如几何定理。