试证 四面体为等面四面体的充要条件是四面体的四条高线长之和等于其内切球半径的16倍。

试证 四面体为等面四面体的充要条件是四面体的四条高线长之和等于其内切球半径的16倍。

先证必要性 在等面四面体ABCD中，设AD=BC=a,BD=AC=b,CD=AB=c.
令p=(a+b+c)/2,k^2=(a^2+b^2+c^2)/2.
则等面四面体的四个侧面积和等面四面体的体积为:
S=√[s(s-a)*(s-b)*(s-c)]
V={√[(k^2-a^2)*(k^2-b^2)*(k^2-c^2)]}/3
因为等面四面体ABCD的四个侧面积相等,所以等面四面体ABCD的四条高相等.设高为h.则
h=3V/S=√{(k^2-a^2)*(k^2-b^2)*(k^2-c^2)/[s(s-a)*(s-b)*(s-c)]}.
由于等面四面体ABCD的四个侧面积相等,故其内切球的半径为
r=3V/(4S)==√{(k^2-a^2)*(k^2-b^2)*(k^2-c^2)/[s(s-a)*(s-b)*(s-c)]}/4.
因此等面四面体的四条高线均等于其内切球半径的4倍。故它的四条高线长之和等于其内切球半径的16倍。

再证充分性 设四面体ABCD的四条高线长为ha,hb,hc,hd,内切球半径为r，体积为V,顶点A,B,C,D所对的底面积分别为Sa,Sb,Sc,Sd.
因为ha*Sa=3V, <==> 1/ha=Sa/V.
同理: 1/hb=Sb/V, 1/hc=Sc/V, 1/hd=Sd/V.
所以得:1/ha+1/hb+1/hc+1/hd=1/r. (1)
由算术--几何平均不等式得:
ha+hb+hc+hd≥4(ha*hb*hc*hd)^(1/4)
1/ha+1/hb+1/hc+1/hd≥4/(ha*hb*hc*hd)^(1/4)
两式相乘得
(ha+hb+hc+hd)*(1/ha+1/hb+1/hc+1/hd)≥16
利用(1)式得:
ha+hb+hc+hd≥16r (2)
显然等号当且仅当ha=hb=hc=hd,亦即四面积ABCD为等面四面体时成立.
因此ha+hb+hc+hd=16r,则四面积ABCD必为等面四面体.

实际命题的必要性也可由此而得到证明.