求证：a^(n+1)+(a+1)^(2n-1)能被a^2+a+1整除。（n∈N*）(用数学归纳法)

求证：a^(n+1)+(a+1)^(2n-1)能被a^2+a+1整除。（n∈N*）(用数学归纳法)

证明：
当n=1时：a^(n+1)+(a+1)^(2n-1)=a^2+(a+1)=a^2+a+1
所以，它能被a^2+a+1整除
假设当n=k时，a^(k+1)+(a+1)^(2k-1)能被a^2+a+1整除
令a^(k+1)+(a+1)^(2k-1)=m(a^2+a+1)
则：a^(k+1)=m(a^2+a+1)-(a+1)^(2k-1) …………………（1）
那么，当n=k+1时：
a^(n+1)+(a+1)^(2n-1)=a^(k+2)+(a+1)^(2k+1)
=a*{a^(k+1)+[(a+1)^2/a]*(a+1)^(2k-1)}
将(1)式代入上式，得到：
=a*{m(a^2+a+1)-(a+1)^(2k-1)+[(a+1)^2/a]*(a+1)^(2k-1)}
=a*{m(a^2+a+1)+(a+1)^(2k-1)*[(a+1)^2/a-1]}
=a*{m(a^2+a+1)+(a+1)^(2k-1)*[(a^2+a+1)/a]}
=(a^2+a+1)*{am+(a+1)^(2k-1)}
那么，它当然可以被a^2+a+1整除
命题获证！