问题: 一道高二数学题
从(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1(a>b>0)椭圆上一点P向轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，｜F1A｜=√10+√5,求此椭圆的方程。
解答:
OF1=c,OA=a,→｜F1A｜=OA+OF1=a+c
己知｜F1A｜=√10+√5,→a+c=√10+√5.........(1)
AB∥OP→直角△OF1P∽直角△AOB,→F1P/OB=F1O/OA→
F1P/b=c/a...................................(2)
P点横坐标为-c,P在椭圆上:
(-c)^2/a^2+y^2/b^2=1,→y^2/b^2=1-(c^2/a^2)
=(a^2-c^2)/a^2=b^2/a^2→y^2/b^2=b^2/a^2→
y^2=b^4/a^2,→｜y｜=b^2/a,F1P=｜y｜=b^2/a代入(2)
(b^2/a)/b=c/a→b/a=c/a→b=c.................(3)
a^2=b^2+c^2=c^2+c^2=2c^2→a=√2c代入(1)
√2c+c=√10+√5→(√2+1)c=√5(√2+1)→
c=√5,b=c=√5→a=√2c=√10
∴椭圆的方程x^2/10+y^2/5=1
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