如何求解直线与直线、直线与平面、平面与平面的角(例如二面角)

空间角都是转化为平面角来计算。
(1) 异面直线所成的角(范围(0,π/2 ]),运用"平移法"转化为相交直线所成的角.要充分利用图形中的平行关系(如中位线).
(2) 直线与平面所成的角(范围[0,π/2 ]),主要是斜线与平面所成的角(范围(0,π/2 )).往往是在斜线上取一点,向平面引垂线,利用垂线,斜线,斜线的射影构成的Rt△求解,关键是确定"垂足"的位置.
(2) 平面与平面的二面角(范围(0,π]),关键是找出或作出二面角的平面角.作二面角的平面角的方法是:
i) 定义法:在棱上取一点(一般取特殊点,如中点),在两个半平面内作棱的垂线-----简称"二垂边",这二垂边所成的角就是平面角.
ii) 三垂线定理及逆定理法:自二面角的一个面上一点向另一面引垂线,再由垂足向棱作垂线,得到"斜足"----平面角的顶点,二垂边所成的角就是平面角.
iii) 作垂面法:自空间一段做与棱垂直的平面,截二面角得两条射线,它门所成的角就是平面角.
当二面角的平面角θ较难作出时,利用面积射影定理不失为一种好方法: cosθ=S'/S,其中S为斜面面积(被射影图形),S'为射影面积(射影图形).
下面略举几例:
① 面P和面Q所成二面角为α,直线AB在面P内且与二面角的棱L成β角,它和面Q成γ角,则(选A)
A. sinγ=sinαsinβ ; B. cosα=cosβcosγ;
C. sin²β+sin²γ=sin²α; D. cos²α+cos²β=cos²γ
如下图所示(点击放大图片),作AO⊥面Q于点O,作OC⊥L于C,,则AC⊥L,∠ACO是二面角P-L-Q的平面角,即∠ACO=α,∠ABC=β,∵ AO⊥面Q, ∴ ∠ABO是AB和面Q成的角, 即∠ABO=γ.
② 在正方体ABCD=A'B'C'D'中,E,F风别为A'C',C'D'的中点,若截面EFDB与侧面BCC'B'所成锐二面角为θ,则cosθ=( ).
设棱长为4,求得EF=2√2,BD=4√2,BE=2√5,梯形EFDB的高h=3√2,
∴ Sefdb=0.5(EF+DB)·h=18,Sbcc'e=0.5(EC'+BC)·C'C=12.
∴ cosθ=Sbcc'e/Sefdb=2/3