在△ABC中，满足:(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=1.
求证 △ABC外接圆与九点圆正交。

在△ABC中，满足:(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=1.
求证 △ABC外接圆与九点圆正交。

简证 设O.Q.H分别是△ABC的外心,九点圆心和垂心，BC=a,CA=b,AC=c,R为△ABC的外接圆的半径。则题设条件为:
a^2+b^2+c^2=4R^2
因为九点圆心Q在欧拉线OH上,且HQ=OQ，九点圆的直经为R.
易求得:
OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2)
OQ^2=[9R^2-(a^2+b^2+c^2)]/4
设⊙O∩⊙Q=M,OM=R,QM=R/2.要证明⊙O∩⊙Q正交，
只要证明 R^2+(R/2)^2=OQ^2.
而OQ^2=[9R^2-(a^2+b^2+c^2)]/4=5R^2/4
=R^2+R^2/4=OM^2+QM^2.
故∠OMQ=90°,即OM⊥QM.OM,QM分别是⊙Q,⊙O的切线.
因此⊙O∩⊙Q正交。