三角形ABC中，B（4，0），C（—4，0），动点A满足sinB—sinC=（1/2）sinA
（1）A的轨迹方程
（2）A到直线y=2x的距离的最小值
（3）过点F（4，0）的直线l与点A的轨迹交于M，N两点，已知OR=OM+ON（OR，OM，ON是向量），求点R的轨迹方程

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三角形ABC中，B（4，0），C（—4，0），动点A满足sinB—sinC=（1/2）sinA
（1）A的轨迹方程
（2）A到直线y=2x的距离的最小值
（3）过点F（4，0）的直线l与点A的轨迹交于M，N两点，已知OR=OM+ON（OR，OM，ON是向量），求点R的轨迹方程
解： 在三角形ABC中，BC=a=8 AC=b AB=c
R为△ABC外接圆半径
sinB=b/2R sinC=c/2R sinA=a/2R
∴（b/2R）-（c/2R）=a/4R
b-c=a/2=4
点A到两个定点B、C距离之差为一个定值4，∴A的轨迹是一个双曲线。
x＾/a＾-y＾/b＾=1
a=2 c=4 b=2√3
（x＾/4）-（y＾/12）=1
（2）：A（x1，y1）
过A点，双曲线切线L方程：
（xx1/4）-（yy1/12）=1
L： y=（3x1/y1）x-（12/y1）
L与直线y=2x平行时，A到直线y=2x的距离d最短。
3x1/y1=2
y1=3x1/2
（x1＾/4）-（9x1＾/12）=1
x1=±4 y1=±6
dman=|4-12|/√（1+4）=（8√5）/5=|-4+12|/√（1+4）
（3）过点F（4，0）的直线l与点A的轨迹交于M，N两点，已知OR=OM+ON（OR，OM，ON是向量），求点R的轨迹方程
解：
M(x1,y1),N(x2,y2) R(x,y)
向量OR=向量OM+向量ON=(x1+x2,y1+y2)=(x,y)
x=x1+x2
y=y1+y2
过点F（4，0）的直线l: y=k(x-4)
联立：
y=k(x-4) （x＾/4）-（y＾/12）=1
(3-k＾)x＾+8xk＾-16k＾-12=0
x1+x2=8k＾/(k＾-3)=x
y1+y2=k[(x1+x2)-8]=24k/(k＾-3)=y
x/y=k/3 k=3x/y
带入: 24k/(k＾-3)=y
[(x-4)＾/16]-[y＾/48]=1