在△ABC中，己知a+b<3c，求证tan(A/2)*tan(B/2)<1/2。
简证 设r,s分别是△ABC的内切圆的半径和半周长。
由三角形半角公式和内切圆半径公式得:
tan(A/2)=r/(s-a),tan(B/2)=r/(s-b)。
r=√[(s-a)*(s-b)*(s-c)/s]
故tan(A/2)*tan(B/2)=r^2/[(s-a)*(s-b)]=(s-c)/s
即证(a+b-c)/(a+b+c)<1/2
<==> 2(a+b-c)<a+b+c
<==> a+b<3c,为己知条件。
所以tan(A/2)*tan(B/2)<1/2得证。
