问题: 三角形不等式
在△ABC中，x,y,z为正实数，S为△ABC的面积。求证
xa^2/(y+z)+yb^2/(z+x)+zc^2/(x+y)≥2√3*S
解答:
在△ABC中，x,y,z为正实数，S为△ABC的面积。求证
xa^2/(y+z)+yb^2/(z+x)+zc^2/(x+y)≥2√3*S
有更强式
xa^2/(y+z)+yb^2/(z+x)+zc^2/(x+y)≥bc+ca+ab-(a^2+b^2+c^2)/2
下证更强式
T=2xa^2/(y+z)+2yb^2/(z+x)+2zc^2/(x+y)+a^2+b^2+c^2
=a^2*(2x+y+z)/(y+z)+b^2*(2y+z+x)/(z+x)+c^2*(2z+x+y)/(x+y)
=a^2*[(x+y)+(z+x)]/(y+z)+b^2*[(y+z)+(x+y)]/(z+x)+c^2*[(z+x)+(y+z)]/(x+y)
≥2bc+2ca+2ab.
所以更强式成立。
而 2(bc+ca+ab)-(a^2+b^2+c^2)≥4√3*S
<==> 4R+r≥s*√3是己知不等式。
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